克罗内克δ函数（Kronecker delta）定义为：
δ i j = { 1 , 当 i = j , 0 , 当 i ≠ j . \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{当 } i = j, \ 0, & \text{当 } i \neq j. \end{cases} δij={1,0,当 i=j,当 i=j.
也就是说，当 i = j i = j i=j 时， δ i j = 1 \delta_{ij} = 1 δij=1；当 i ≠ j i \neq j i=j 时， δ i j = 0 \delta_{ij} = 0 δij=0。
克罗内克δ函数是对称的：
δ
i
j
=
δ
j
i
.
\delta_{ij} = \delta_{ji}.
δij=δji.
对任意数
a
i
a_i
ai，克罗内克δ函数有以下性质：
∑
i
a
i
δ
i
j
=
a
j
.
\sum_{i} a_i \delta_{ij} = a_j.
i∑aiδij=aj.
克罗内克δ函数常用于表示单位矩阵
I
I
I：
I
i
j
=
δ
i
j
.
I_{ij} = \delta_{ij}.
Iij=δij.
在单位矩阵中，
i
=
j
i = j
i=j 的位置元素为 1，其他元素为 0。
克罗内克δ函数用于表示正交基的内积：
e
i
⋅
e
j
=
δ
i
j
.
\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \delta_{ij}.
ei⋅ej=δij.
当
i
=
j
i = j
i=j 时，内积为 1；当
i
≠
j
i \neq j
i=j 时，内积为 0。
在矩阵运算中，克罗内克δ函数常用于简化表示。例如，矩阵乘法中的单位矩阵可以用 δ i j \delta_{ij} δij 表示。
在正交多项式（如勒让德多项式）中，克罗内克δ函数用于表示正交性。例如：
∫
−
1
1
P
n
(
x
)
P
m
(
x
)
d
x
=
2
2
n
+
1
δ
m
n
.
\int_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x) \, dx = \frac{2}{2n + 1} \delta_{mn}.
∫−11Pn(x)Pm(x)dx=2n+12δmn.
当
n
≠
m
n \neq m
n=m 时，积分为 0；当
n
=
m
n = m
n=m 时，积分为常数。
在量子力学中，克罗内克δ函数用于描述不同量子态的正交性：
⟨
i
∣
j
⟩
=
δ
i
j
.
\langle i | j \rangle = \delta_{ij}.
⟨i∣j⟩=δij.
这表示不同的量子态是正交的，相同的态归一化为 1。
在张量分析中，克罗内克δ函数用于张量的缩并运算，通过 δ i j \delta_{ij} δij 实现从高维张量到低维张量的转换。
克罗内克δ函数 δ i j \delta_{ij} δij 是一个重要的工具，广泛应用于线性代数、量子力学、正交多项式和张量分析等多个领域。它主要用于检测两个变量是否相等，并用于表示正交性、单位矩阵以及基向量的内积结果。
