动态规划-打家劫舍

题目描述

一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响小偷偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。 给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组 nums ，请计算 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

核心思想是利用动态规划来避免重复计算，并且考虑到相邻房屋不能同时偷窃的约束条件。

解题思路

解法一：

这种解法采用了动态规划（Dynamic Programming, DP）的思想来解决“打家劫舍”问题，但它在传统DP解法的基础上增加了一些额外的状态来更清晰地表示问题。在这个解法中，定义了三个数组：dp、f 和 g，它们各自有不同的含义和用途。

数组定义

• dp[i]：到位置 i 时（包括位置 i），可以抢到的最多钱。这个数组在最终答案的求解中并不是直接必要的，因为最终答案可以通过遍历 f 或 g 数组得到，但在这里它被用作一个中间变量来存储每个位置的最大收益。
• f[i]：在位置 i 选择抢时，到位置 i 可以抢到的最多钱。这表示如果小偷决定抢第 i 个房子，那么他应该抢到的最大金额。
• g[i]：在位置 i 不抢时，到位置 i 可以抢到的最多钱。这表示如果小偷决定不抢第 i 个房子，那么他应该抢到的最大金额。

状态转移方程

• 对于 f[i]，如果小偷决定抢第 i 个房子，那么他不能抢前一个房子（即第 i-1 个房子），所以他可以抢到的最多钱是 g[i-1] + nums[i]，即不抢第 i-1 个房子时的最大金额加上第 i 个房子的金额。
• 对于 g[i]，如果小偷决定不抢第 i 个房子，那么他有两种选择：抢或不抢前一个房子（即第 i-1 个房子）。因此，他可以抢到的最多钱是 max(f[i-1], g[i-1])，即抢或不抢前一个房子时的较大值。

最终答案

最终答案并不是简单地取 dp[n-1]（虽然在这个解法中，dp[n-1] 也会是正确答案之一，因为它存储了到最后一个位置的最大金额），而是通过遍历 dp 数组（或者更直接地，遍历 f 或 g 数组，因为 dp[i] 总是等于 max(f[i], g[i])）来找到的最大值。然而，在这个特定的解法中，由于 dp[i] 总是等于 max(f[i], g[i])，所以直接返回 dp[n-1] 也是正确的。

缺点

这个解法虽然清晰，但使用了额外的空间来存储 f 和 g 数组。实际上，这个问题可以通过只使用一维数组（或者甚至不使用数组，只使用几个变量）来解决，因为每个位置的状态只依赖于前两个位置的状态。这种优化后的解法可以显著降低空间复杂度。

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n, 0); // dp[i] 到位置i 可以抢到的最多钱
        vector<int> f(n, 0);  // f(i) 在位置i 选择抢
        vector<int> g(n, 0);  // g(i) 在位置i 不抢
        f[0] = nums[0];
        dp[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            f[i] = g[i - 1] + nums[i];
            g[i] = max(f[i - 1], g[i - 1]);
            dp[i] = max(f[i], g[i]);
        }
        int ret = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            ret = max(ret, dp[i]);
        }
        return ret;
    }
};

解法二：

设 dp[i] 表示偷到第 i 个房屋为止能够偷窃到的最高金额（注意，这里 i 从 0 开始计数）。根据题目要求，我们不能偷相邻的房屋，所以有两种情况需要考虑：

1. 如果偷了第 i-1 个房屋，那么就不能偷第 i 个房屋，此时最高金额就是 dp[i-1]。
2. 如果不偷第 i-1 个房屋，那么可以偷第 i 个房屋，此时最高金额就是 dp[i-2] + nums[i]（即偷到第 i-2 个房屋为止的最高金额加上第 i 个房屋的金额）。

综合这两种情况，我们可以得到状态转移方程：

dp[i]=max(dp[i−1],dp[i−2]+nums[i])

初始条件为：

• dp[0] = nums[0]（只有一间房屋时，直接偷这一间）
• 如果存在 nums[1]，则 dp[1] = \max(nums[0], nums[1])（有两间房屋时，偷金额较大的那一间）

class Solution {  
public:  
    int rob(vector<int>& nums) {  
        int n = nums.size();  
        if (n == 0) return 0;  
        if (n == 1) return nums[0];  
        vector<int> dp(n, 0);  
  
        dp[0] = nums[0]; // 偷第一家  
        dp[1] = max(nums[0], nums[1]); // 偷第一家或第二家  
  
        for (int i = 2; i < n; ++i) {  
            // 对于第i家，有两种选择：偷或不偷  
            // 如果偷第i家，则不能偷第i-1家，最大金额为dp[i-2] + nums[i]  
            // 如果不偷第i家，则最大金额为dp[i-1]（即偷到第i-1家的最大金额）  
            dp[i] = max(dp[i-2] + nums[i], dp[i-1]);  
        }  
        return dp[n-1];  
    }  
};