局部凸空间及其在算子空间中的应用之二

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年轻人应该学习数学，因为这是唯一能够教会他们如何思考的学科。——John von Neumann

前言

在现代数学尤其是泛函分析领域中，局部凸空间作为一种重要的拓扑向量空间，在理论和应用方面都占据着极其关键的地位。它们不仅是研究无限维空间中各种数学对象的基础框架，而且还在物理学、经济学、工程学等多个领域有着广泛的应用。

局部凸空间是一种特殊的拓扑向量空间，它通过一族半范（seminorms）来定义其拓扑结构。简单来说，局部凸空间是由一系列半范诱导的拓扑向量空间，这些半范满足一定的条件，使得空间中的局部凸性质得以保证。局部凸空间的概念涵盖了从巴拿赫（Banach）空间到弗雷歇（Fréchet）空间等一系列重要的空间类型，当然也包括我们在后续文章中将要涉及到的广义函数空间、算子拓扑空间等。

关于局部凸空间的发展史，可以追溯到20世纪初。1906年，法国数学家莫里斯·弗雷歇（Maurice Fréchet）在他的博士论文中首次提出了度量空间的概念。他将欧几里得空间中的距离概念抽象化，并定义了一个集合上的度量，这使得度量空间成为可能。度量空间的概念允许我们讨论距离和收敛性，这是现代泛函分析的基础之一。在后续研究中，弗雷歇空间作为一种特殊的局部凸拓扑向量空间，于20世纪20年代至30年代期间得到了更深入的发展和完善。LF空间（LF-spaces）则是弗雷歇空间序列的归纳极限，这类空间在50年代后期得到了研究，因为它们在分析中经常出现。

与此同时，布尔巴基学派（一群数学家的集体笔名）在20世纪30年代至50年代期间对泛函分析和局部凸空间进行了系统性的整理和发展。洛朗·施瓦茨在20世纪40年代末期和50年代初期，通过引入分布理论（广义函数理论）进一步推动了局部凸空间的研究，分布空间（广义函数空间）便是局部凸空间的一个十分重要的例子。施瓦茨的工作极大地促进了局部凸空间在偏微分方程和量子力学中的应用。在20世纪中叶，随着对非线性算子和非局部凸空间的研究，出现了局部 p-凸空间的概念。这类空间在非线性泛函分析中有着重要的应用。

70年代，人们开始研究局部凸空间的几何性质，特别是与凸性和可微性相关的属性。这些研究对于理解空间中的几何结构以及优化理论非常重要。这段时间，Banach空间理论的很多结果也被扩展到了局部凸空间的框架下。例如，局部凸空间中的Banach-Steinhaus定理和Hahn-Banach定理的推广。沿着另一个方向，70年代以后，研究者们探讨了局部 p-凸空间中的 Asplund 性质，这是一种几何与微分理论密切相关的性质。

本文继续该系列上一篇文章，讲述泛函分析中最重要的一类空间——局部凸空间及其性质。我们先引入局部凸空间，然后通过半范系构造局部凸空间，并表明半范系是构造局部凸空间的充要条件，即局部凸空间重要的构造定理2.4。然后顺便介绍了拓扑向量空间中线性算子的有界性和连续性，最后给出了豪斯多夫局部凸空间的相关结论。由于字数受限，我们将一个重要的豪斯多夫局部凸空间的例子留在下一篇文章中进行介绍。

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一、局部凸空间及其性质

凸集的概念，大家不会陌生。在向量空间 $X$ 中，其数域为 $\mathbb{K}$，设 $M\subseteq X$，如果 $\alpha M+(1-\alpha )M\subseteq M$，$\alpha \in [0,1]$，则称 $M$ 是凸集。

显然上面的定义是和下面等价的：
$$\bigcup _{i=1}^n{\alpha }_{i}M\subseteq M,\forall m\in \mathbb{N},{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\ge 0,\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=1$$ 对于 $A\subseteq X$，称
$$co(A)=\left\{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i|x_i\in M,{\alpha }_i\in [0,1],\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=1\right\}$$ 为 $A$ 的凸包。

凸包的任意交显然是凸包。$M$ 是凸集当且仅当 $M=co(M)$。

下面给出局部凸空间的定义。

定义2.1 拓扑向量空间 $(X,\tau )$ 被称为局部凸空间，若它的每个原点邻域都包含一个凸原点邻域。并称拓扑 $\tau$ 是 $X$ 上的局部凸拓扑。

一个重要但不至于在此证明的结论是说，局部凸空间有由平衡凸原点邻域构成的原点邻域基，详细证明参考周美珂先生的《泛函分析》，pp:52-53。

实际上，后面出现的一些局部凸拓扑的构造往往不是直接从凸原点邻域进行的，而是通过半范来构造更多的局部凸空间。

定义2.2 给定向量空间 $X$，设 $p:X\to \mathbb{R}$ 满足

1. $p(x+y)\le p(x)+p(y)$，$\forall x,y\in X$；（三角不等式）
2. $p(\alpha x)=|\alpha |p(x)$, $\forall x\in X,\alpha \in \mathbb{K}$，（齐次性）

则称 $p$ 是 $X$ 上的半范。

显然若半范还满足正定性：$p(x)=0\Rightarrow x=0$，则 $p(\cdot )$ 是一个范数。容易验证半范具有下述性质：

1. $p(0)=0$；
2. $p(x)\ge 0$ （非负性）
3. $p(x-y)\ge |p(x)-p(y)|$

一个著名的半范便是闵可夫斯基泛函。

定义2.3 给定向量空间 $X$，$M\subseteq X$ 是平衡吸收凸集，则由
p M ( x ) = inf ⁡ { α ∣ α > 0 , x ∈ α M } ,    ∀ x ∈ X p_M(x) = \inf\{ \alpha | \alpha>0, x\in \alpha M \}, \; \forall x\in X pM​(x)=inf{α∣α>0,x∈αM},∀x∈X 确定的 $p_M:X\to \mathbb{R}$ 叫做 $M$ 的闵可夫斯基泛函。

闵可夫斯基泛函满足下述性质：
{ x ∈ X ∣ p M ( x ) < 1 } ⊆ M ⊆ { x ∈ X ∣ p M ( x ) ≤ 1 } \{ x \in X \big| p_M(x)<1 \} \subseteq M \subseteq \{ x \in X \big| p_M(x) \leq1 \} {x∈X ​pM​(x)<1}⊆M⊆{x∈X ​pM​(x)≤1} 且 A = { x ∈ X ∣ p M ( x ) < 1 } A=\{ x \in X \big| p_M(x)<1 \} A={x∈X ​pM​(x)<1} 和 B = { x ∈ X ∣ p M ( x ) ≤ 1 } B=\{ x \in X \big| p_M(x) \leq1 \} B={x∈X ​pM​(x)≤1} 都是 $X$ 中的平衡吸收凸集，$p_A=p_M=p_B$。

在定义2.3中，若给定的空间 $X$ 还是豪斯多夫拓扑向量空间，则对于原点的每个平衡凸邻域 $V$（自然也是吸收的），对应的闵可夫斯基泛函 $P_V(x)$ 关于 $X$ 上的拓扑连续。

现在我们给出局部凸空间和半范系之间的重要定理，指明了通过半范系构造局部凸拓扑的方法。

定理2.4 给定向量空间 $X$，设 P = { p j ∣ j ∈ J } \mathscr{P}=\{ p_j | j\in J \} P={pj​∣j∈J} 是 $X$ 上的一个半范系，$\mathcal{B}$ 定义如下：
B = { V ( p j 1 , ⋯   , p j n ; ε ) = { x ∈ X ∣ max ⁡ 1 ≤ k ≤ n p j k ( x ) < ε } ∣ ε > 0 , j 1 , ⋯   , j n ∈ J , n ∈ N } \mathscr{B} = \left\{ V(p_{j_1}, \cdots, p_{j_n}; \varepsilon)=\{ x\in X \big| \underset{1\leq k \leq n}{\max} p_{j_k}(x)<\varepsilon \} \bigg| \varepsilon>0, j_1,\cdots,j_n \in J, n\in \mathbb{N} \right\} B={V(pj1​​,⋯,pjn​​;ε)={x∈X ​1≤k≤nmax​pjk​​(x)<ε} ​ε>0,j1​,⋯,jn​∈J,n∈N} 则 $\mathcal{B}$ 是 $X$ 上唯一的局部凸拓扑 $\tau$ 的原点邻域基。在该局部凸拓扑下，每个 $p_j$ ($j\in J$) 都是连续的。反之，如果 $(X,{\tau }_1)$ 是局部凸空间， { V j ∣ j ∈ J } \{ V_j | j\in J \} {Vj​∣j∈J} 是它的一个由平衡凸集构成的原点邻域基，$p_j$ 是 $V_j$ 的闵可夫斯基泛函，则由 P = { p j ∣ j ∈ J } \mathscr{P}=\{ p_j | j\in J \} P={pj​∣j∈J} 按上述方式确定的局部凸拓扑 $\tau$ 与 ${\tau }_1$ 一致，且每个 $p_j$ 按局部凸拓扑 $\tau$（或 ${\tau }_1$） 连续。

在证明之前，我们先回忆一下拓扑向量空间中连续性的定义，即

定义2.5 给定拓扑向量空间 $(X,\tau )$ 和 $(Y,\sigma )$，映射（算子） $f:X\to Y$，取定 $x_0\in X$，如果对于 $f(x_0)$ 在 $(Y,\sigma )$ 中的每个邻域 $V$，存在相应的 $x_0$ 在 $(X,\tau )$ 中的邻域 $U$，使得 $f(U)\subseteq V$，则称 $f$ 在 $x_0$ 点连续。如果 $f$ 在 $X$ 的每一点都连续，称 $f$ 连续。

关于 $f$ 连续，我们有另外两个充要条件，即

1. 在 $f$ 下，开集的原象是开集；
2. 在 $f$ 下，闭集的原象是闭集。

另外关于紧集我们有：在连续映射下，紧集的象集是紧集。

证明定理2.4：第一部分的证明。结合原点邻域基定理1.3，只需验证 $\mathcal{B}$ 满足该定理中的1-4即可。

首先验证第1条，对于任意的 $V_1,V_2\in \mathcal{B}$，$V_1=V_1(p_{j_1},\cdots ,p_{j_n};{\epsilon }_1)$，$V_2=V_2(p_{l_1},\cdots ,p_{l_m};{\epsilon }_2)$，记 $V=V(p_{j_1},\cdots ,p_{j_n},p_{l_1},\cdots ,p_{l_m};\min ({\epsilon }_1,{\epsilon }_2))\in \mathcal{B}$，则显然 $V\subseteq V_1\cap V_2$。

其次验证第2条，对于任意的 $V=V(p_{j_1},\cdots ,p_{j_n};\epsilon )\in \mathcal{B}$，任意的 $|\alpha |\le 1$，任取 $\alpha v\in \alpha V$，则 $\underset{1\le k\le n}{\max }{p}_{j_k}(v)<\epsilon$，自然有：
$$\begin{gathered} \underset{1\le k\le n}{\max }(p_{j_k}(\alpha v))= \\ \underset{1\le k\le n}{\max }(|\alpha |\cdot p_{j_k}(v))= \\ |\alpha |\cdot \underset{1\le k\le n}{\max }{p}_{j_k}(v)\le \\ \underset{1\le k\le n}{\max }{p}_{j_k}(v)<\epsilon \end{gathered}$$ 因此，$\alpha v\in V$，故得 $\alpha V\subseteq V$，由 $\alpha$ 的任意性有 ${\bigcup }_{|\alpha |\le 1}\alpha V\subseteq V$。说明 $\mathcal{B}$ 中的元素都是平衡集。

然后验证第3条，对于任何 $V=V(p_{j_1},\cdots ,p_{j_n};\epsilon )\in \mathcal{B}$，任意的 $x\in X$，可计算得 $\underset{1\le k\le n}{\max }{p}_{j_k}(x)={\epsilon }_0$，若 ${\epsilon }_0=0$，则取 ${\alpha }_x\ge 1$，有 $x\in {\alpha }_{x}V$。不妨 ${\epsilon }_0>0$，取 ${\alpha }_x>\frac{{\epsilon }_0}{\epsilon }$，则 $\underset{1\le k\le n}{\max }{p}_{j_k}(\frac{x}{{\alpha }_x})=\frac{1}{{\alpha }_x}\underset{1\le k\le n}{\max }{p}_{j_k}(x)=\frac{{\epsilon }_0}{{\alpha }_x}<\epsilon$，进一步可取 ${\alpha }_x>\max (1,\frac{{\epsilon }_0}{\epsilon })$，则无论 ${\epsilon }_0$ 的取值都有 $\frac{x}{{\alpha }_x}\in V$，自然有 $x\in {\alpha }_{x}V$。此即 $\mathcal{B}$ 中的元素都是吸收集。

最后验证第4条，对于任何 $V=V(p_{j_1},\cdots ,p_{j_n};\epsilon )\in \mathcal{B}$，取 $W=W(p_{j_1},\cdots ,p_{j_n};\epsilon /2)$，则任意的 $w_1\in W$ 以及任意的 $w_2\in W$，有
$$\begin{gathered} \underset{1\le k\le n}{\max }{p}_{j_k}(w_1+w_2)\le \underset{1\le k\le n}{\max }(p_{j_k}(w_1)+p_{j_k}(w_2))\le \\ \underset{1\le k\le n}{\max }(p_{j_k}(w_1))+\underset{1\le k\le n}{\max }(p_{j_k}(w_2))< \\ \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon \end{gathered}$$ 因此 $w_1+w_2\in V$，故有 $W+W\subseteq V$。（注意区分 $V_0$ 和 $V$。的区别）

上述四个条件已经验证完成，故由 $\mathcal{B}$ 可以诱导唯一的一个向量拓扑 $\tau$，使得 $\mathcal{B}$ 成为 $\tau$ 的原点邻域基。

下面说明 $\forall V=V(p_{j_1},\cdots ,p_{j_n};\epsilon )\in \mathcal{B}$ 是凸集，所以 $\tau$ 是局部凸拓扑。

对于任意的 $v_1,\cdots ,v_n\in V$，以及 ${\alpha }_i\in [0,1],{\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i=1$，有
$$\begin{gathered} \underset{1\le k\le n}{\max }{p}_{j_k}\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{v}_i\right)\le \underset{1\le k\le n}{\max }\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{p}_{j_k}(v_i)\right)\le \\ \sum _{i=1}^n\underset{1\le k\le n}{\max }\left({\alpha }_i{p}_{j_k}(v_i)\right)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\underset{1\le k\le n}{\max }\left(p_{j_k}(v_i)\right)< \\ \sum _{i=1}^n{\alpha }_i\epsilon =\epsilon \end{gathered}$$ 表明 ${\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{v}_i\in V$，因此 $V$ 是凸集，$\mathcal{B}$ 是 $\tau$ 的凸原点邻域基，则 $\tau$ 是局部凸拓扑。

现在来说明 $p_j$ 是连续的。对于任意的 $\epsilon >0$，则 $\mathbb{R}$ 的原点邻域 $(-\epsilon ,\epsilon )$ 在 $p_j$ 的逆象为 $p_j^{-1}((-\epsilon ,\epsilon ))=V(p_j;\epsilon )$，则是 $\tau$ 的一个原点 (开) 邻域，因此 $p_j$ 在原点连续。

我们设任意的 $x\in X$，来证明 $p_j$ 在 $x$ 点的连续性。对于任意的 $\epsilon >0$，存在 $x$ 的开邻域 V x = { x ′ ∈ X ∣    p j ( x ′ − x ) < ε } = x + V ( p j ; ε ) V_x=\{ x'\in X | \; p_j(x'-x)<\varepsilon \}=x+V(p_j;\varepsilon) Vx​={x′∈X∣pj​(x′−x)<ε}=x+V(pj​;ε)，满足对于任意的 $x^{\prime }\in V_x$，$|p_j(x^{\prime })-p_j(x)|\le p(x^{\prime }-x)<\epsilon$，故 x ′ ∈ p j − 1 ( { r ∣    ∣ r − p j ( x ) ∣ < ε } ) x' \in p_j^{-1}(\{ r | \; |r-p_j(x)|<\varepsilon \}) x′∈pj−1​({r∣∣r−pj​(x)∣<ε})。即有 V x ⊆ p j − 1 ( { r ∣    ∣ r − p j ( x ) ∣ < ε } ) V_x \subseteq p_j^{-1}(\{ r | \; |r-p_j(x)|<\varepsilon \}) Vx​⊆pj−1​({r∣∣r−pj​(x)∣<ε}) 成立。说明 p j − 1 ( { r ∣    ∣ r − p j ( x ) ∣ < ε } ) p_j^{-1}(\{ r | \; |r-p_j(x)|<\varepsilon \}) pj−1​({r∣∣r−pj​(x)∣<ε}) 是点 $x$ 的邻域。

也就是说，对于任意的 $\epsilon >0$，以及 $p_j(x)$ 的邻域 { r ∣    ∣ r − p j ( x ) ∣ < ε } \{ r | \; |r-p_j(x)|<\varepsilon \} {r∣∣r−pj​(x)∣<ε}，存在 $x$ 的邻域 p j − 1 ( { r ∣    ∣ r − p j ( x ) ∣ < ε } ) p_j^{-1}(\{ r | \; |r-p_j(x)|<\varepsilon \}) pj−1​({r∣∣r−pj​(x)∣<ε})，使得
p j ( p j − 1 ( { r ∣    ∣ r − p j ( x ) ∣ < ε } ) ) ⊆ { r ∣    ∣ r − p j ( x ) ∣ < ε } p_j(p_j^{-1}(\{ r | \; |r-p_j(x)|<\varepsilon \})) \subseteq \{ r | \; |r-p_j(x)|<\varepsilon \} pj​(pj−1​({r∣∣r−pj​(x)∣<ε}))⊆{r∣∣r−pj​(x)∣<ε} 因此 $p_j$ 在 $x$ 连续。这便完成了前推后的部分。

第二部分的证明。已知 $(X,\tau )$ 是局部凸空间， { V j ∣ j ∈ J } \{ V_j | j\in J \} {Vj​∣j∈J} 是它的一个由平衡凸集构成的原点邻域基，$p_j$ 是 $V_j$ 的闵可夫斯基泛函，半范系 P = { p j ∣ j ∈ J } \mathscr{P}=\{ p_j | j\in J \} P={pj​∣j∈J} 按上述方式确定的局部凸拓扑是 ${\tau }_1$。由第一部分的结论知，每一个半范 $p_j$ 是连续的。

对于每个 $V_j$，由闵可夫斯基泛函的性质有 $V(p_j;1)\subseteq V_j$，这说明 ${\tau }_1$ 的原点邻域基更细，因此 $\tau \subseteq {\tau }_1$。

反之，任取 $V(p_{j_1},\cdots ,p_{j_n};\epsilon )$，由闵可夫斯基泛函的性质，有 $V_{j_k}\subseteq V(p_{j_k};2)$，从而
$$\bigcap _{k=1}^n\frac{\epsilon }{2}{V}_{j_k}\subseteq \bigcap _{k=1}^n\frac{\epsilon }{2}V(p_{j_k};2)=V(p_{j_1},\cdots ,p_{j_n};\epsilon )$$ 左边的集合 ${\bigcap }_{k=1}^n\frac{\epsilon }{2}{V}_{j_k}$ 是 $(X,\tau )$ 中的原点邻域，自然存在 $\tau$ 的原点邻域基中的成员 $V_0\subseteq {\bigcap }_{k=1}^n\frac{\epsilon }{2}{V}_{j_k}\subseteq V(p_{j_1},\cdots ,p_{j_n};\epsilon )$，说明 $\tau$ 的原点邻域基更细，即有 ${\tau }_1\subseteq \tau$。从而 $\tau ={\tau }_1$。这就完成了定理2.4的全部证明。$\square$

定理2.4告述我们，拓扑向量空间 $X$ 要成为局部凸空间的充要条件是 $X$ 上的拓扑可由一族连续半范系生成。同时我们还应该注意到定理2.4中半范的连续性证明并没有用到闵可夫斯基泛函的任何性质，这个连续性是由局部凸拓扑特殊的构造而保证的，我们并没有要求定理2.4中的 $X$ 还要是一个豪斯多夫空间。

至于定义在平衡吸收凸原点邻域上的闵可夫斯基泛函，我们需要对拓扑向量空间 $X$ 加上豪斯多夫性质，才能说明其关于 $X$ 的拓扑是连续的。

下面我们回忆一下向量空间中的线性算子。设 $X,Y$ 是向量空间，称映射 $T:X\to Y$ 是线性的，若 $T(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha T(x_1)+\beta T(x_2)$，$\forall x_1,x_2\in X;\alpha ,\beta \in \mathbb{F}$。当 $Y$ 是数域时，称 $T$ 是 $X$ 上的线性泛函。

我们知道，线性映射保持凸集、线性子空间、平衡集的性质。即若 $T:X\to Y$ 是线性映射，$A\subseteq X$，$B\subseteq Y$，则当 $A$ 是凸集（线性子空间、平衡集）时，$T(A)$ 也是如此；当 $B$ 是凸集（线性子空间、平衡集）时，$T^{-1}(B)$ 也是。进一步，我们还有下述性质：

1. $T(0)=0$；
2. { x ∈ X ∣    T ( x ) = 0 } \{ x \in X | \; T(x)=0 \} {x∈X∣T(x)=0} 是 $X$ 的线性子空间，为 $T$ 的核空间，记为 $\mathcal{N}(T)$；
3. { y ∈ Y ∣    ∃ x ∈ X , y = T ( x ) } \{ y \in Y | \; \exist x\in X, y=T(x) \} {y∈Y∣∃x∈X,y=T(x)} 是 $Y$ 的线性子空间，称为 $T$ 的值空间，记为 $\mathcal{R}(T)$；
4. $T$ 是单射当且仅当 $T(x)=0$ 时，$x=0$（或 N ( T ) = { 0 } \mathcal{N}(T)=\{0\} N(T)={0}）；
5. $T$ 是满射当且仅当 $\forall y\in Y$，$\exists x\in X$ 使得 $y=Tx$ （或 $\mathcal{R}(T)=Y$）

结合前面定义2.4，我们有关于线性算子 $T$ 的连续性刻画。即若 $X,Y$ 是拓扑向量空间，称线性算子 $T:X\to Y$ 在 $x$ 点连续，若 $\forall V\in \mathcal{N}(T(x))$，存在 $U\in \mathcal{N}(x)$ 使得 $T(U)\subseteq V$。

事实上，线性算子的连续性更容易验证。

定理2.6 设 $X,Y$ 是拓扑向量空间，$T:X\to Y$ 是线性算子，则以下条件等价：

1. $T$ 在某一点 $x_0$ 连续；
2. $T$ 在 $X$ 上连续；
3. $T$ 在 $X$ 上一致连续。

这里的一致连续是指，$Y$ 中原点任一邻域 $V$，存在 $X$ 中原点邻域 $U$，使得任意 $x\in X$，有 $T(x+U)\subseteq T(x)+V$，其中 $U$ 的选取与 $x$ 无关。

我们看看有界线性算子的定义。

定义2.7 设 $X,Y$ 是拓扑向量空间，$T:X\to Y$ 是线性算子，称 $T$ 是有界的，若 $T$ 将 $X$ 中的每个有界集映射为 $Y$ 中的有界集。

讨论有界和连续的关系，我们回顾一下平移不变度量的概念。一个向量空间 $X$ 上若定义度量 $d$ 使之成为度量空间（参见3.1.2节“度量空间与球”部分），则由 $d$ 诱导的拓扑使 $X$ 成为拓扑向量空间，也称 $X$ 为度量向量空间。度量 $d$ 称为平移不变的，若 $d(x+z,y+z)=d(x,y)$，$\forall x,y,z\in X$。平移不变度量的例子就是由范数诱导的度量 $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$。注意，完备的度量向量空间就是 Fréchet 空间。度量向量空间中存在由准范数诱导的平移不变度量，该度量确定的拓扑与原拓扑一致。准范数的概念参考周美珂先生的书《泛函分析》，pp:40-41。

下面给出有界算子和连续算子的关系定理。

定理2.8 设 $X,Y$ 是拓扑向量空间，则每个连续线性算子 $T:X\to Y$ 是有界的。反之，若 $X$ 上存在平移不变度量 $d$ 使之诱导的拓扑与 $X$ 上原来的拓扑相同，也即若 $X$ 是一个度量向量空间，则 $T$ 在 $X$ 上有界可以推出 $T$ 连续。

在 $X,Y$ 为赋范空间情形下，我们知道线性算子的有界性和连续性是等价的。定理2.8告述我们更多，那就是在最广泛的情形，即 $X$ 为度量向量空间、$Y$ 为拓扑向量空间下，线性算子 $T:X\to Y$ 的有界性和连续性是等价的。

至于一个拓扑向量空间是否是可度量化的，我们有一个已知结论：若拓扑向量空间 $X$ 具有可数原点邻域基，则 $X$ 上存在度量 $d$ 使得

1. 由 $d$ 诱导的拓扑与 $X$ 上的原有拓扑相同；
2. $d$ 是平移不变的；
3. 在 $d$ 之下，每个球 B ( 0 , r ) = { x ∣    d ( x , 0 ) < r } B(0, r)=\{ x| \; d(x,0)<r \} B(0,r)={x∣d(x,0)<r} 是平衡集。

反之也成立，即若拓扑向量空间是可度量化的，那么该拓扑向量空间有可数原点邻域基。关于连续线性泛函，我们有下面的结论。

定理 2.9 设 $X$ 是拓扑向量空间，$f:X\to \mathbb{F}$ 是 $X$ 上的线性泛函，$f\ne 0$，则以下条件等价：

1. $f$ 连续；
2. $\mathcal{N}(f)$ 是 $X$ 中的闭集；
3. $\mathcal{N}(f)$ 不在 $X$ 中稠密；
4. 存在 $X$ 中的原点邻域 $U$，使得 $\underset{x\in U}{\sup }|f(x)|<\infty$（局部有界）。

往后为了对比同一个向量空间 $X$ 上通过不同半范系诱导的局部凸拓扑的强弱，我们考虑半范系的强弱与等价。

定义2.10 设 $X$ 是向量空间， { p α ∣    α ∈ A } \{ p_{\alpha} | \; \alpha \in \mathcal{A} \} {pα​∣α∈A}， { q β ∣    β ∈ B } \{ q_{\beta} | \; \beta \in \mathcal{B} \} {qβ​∣β∈B} 是 $X$ 上的两个半范系。若对每个 $q_{\beta }$，都存在有限个 $p_{{\alpha }_1},\cdots ,p_{{\alpha }_k}$ 和正常数 $C$ 使得
$$q_{\beta }\le C\sum _{j=1}^k{p}_{{\alpha }_j}(x),\forall x\in X,$$ 则称 { p α ∣    α ∈ A } \{ p_{\alpha} | \; \alpha \in \mathcal{A} \} {pα​∣α∈A} 强于 { q β ∣    β ∈ B } \{ q_{\beta} | \; \beta \in \mathcal{B} \} {qβ​∣β∈B}。如果 { p α ∣    α ∈ A } \{ p_{\alpha} | \; \alpha \in \mathcal{A} \} {pα​∣α∈A} 强于 { q β ∣    β ∈ B } \{ q_{\beta} | \; \beta \in \mathcal{B} \} {qβ​∣β∈B} 且 { q β ∣    β ∈ B } \{ q_{\beta} | \; \beta \in \mathcal{B} \} {qβ​∣β∈B} 也强于 { p α ∣    α ∈ A } \{ p_{\alpha} | \; \alpha \in \mathcal{A} \} {pα​∣α∈A}，则称 { p α ∣    α ∈ A } \{ p_{\alpha} | \; \alpha \in \mathcal{A} \} {pα​∣α∈A} 与 { q β ∣    β ∈ B } \{ q_{\beta} | \; \beta \in \mathcal{B} \} {qβ​∣β∈B} 等价。

容易推知，若由 { p α ∣    α ∈ A } \{ p_{\alpha} | \; \alpha \in \mathcal{A} \} {pα​∣α∈A} 和 { q β ∣    β ∈ B } \{ q_{\beta} | \; \beta \in \mathcal{B} \} {qβ​∣β∈B} 确定的 $X$ 的局部凸拓扑分别为 $\tau$ 和 $\sigma$，那么当 { p α ∣    α ∈ A } \{ p_{\alpha} | \; \alpha \in \mathcal{A} \} {pα​∣α∈A} 强于 { q β ∣    β ∈ B } \{ q_{\beta} | \; \beta \in \mathcal{B} \} {qβ​∣β∈B} 时，$\tau$ 也强于 $\sigma$，即 $\tau \supseteq \sigma$。若 { p α ∣    α ∈ A } \{ p_{\alpha} | \; \alpha \in \mathcal{A} \} {pα​∣α∈A} 与 { q β ∣    β ∈ B } \{ q_{\beta} | \; \beta \in \mathcal{B} \} {qβ​∣β∈B} 等价，则 $\tau =\sigma$。

到这里，我们并没有声明前面的局部凸拓扑具有豪斯多夫性质（空间中的点可以通过其邻域来区分。），然而在多数情况下，豪斯多夫性质是必须涉及到的，更符合人们的普遍直觉。首先一点则是保证了极限的唯一性，这是非常重要的，确保了数学对象的行为更加稳定和可预测。其二是直观的分离性，这和欧式空间中的两点能用开球区分是一个道理，简单而又直观。其三是众多拓扑良好的结论，都依赖于豪斯多夫性质来规范（例如，豪斯多夫空间中的紧集是闭集、豪斯多夫空间中的单点集是闭集、豪斯多夫空间具有遗传性等等）。

下面我们讨论作成豪斯多夫局部凸拓扑的一个充要条件。很多场合，我们都要基于这个条件去构造一个豪斯多夫局部凸拓扑。

定理2.11 给定向量空间 $X$ 及其上的半范系 P = { p j ∣    j ∈ J } \mathcal{P}=\{p_j | \; j\in J\} P={pj​∣j∈J}，设 $\tau$ 是由 $\mathcal{P}$ 确定的局部凸拓扑，则 $\tau$ 是豪斯多夫拓扑当且仅当 $\forall x\in X$，$x\ne 0$，存在 $p_j\in \mathcal{P}$ 满足 $p_j(x)>0$。（称此时的半范系 $\mathcal{P}$ 满足分离公理，或称半范系 $\mathcal{P}$ 可分点）

定理2.11告述我们，局部凸拓扑是否具有豪斯多夫性质跟半范系 $\mathcal{P}$ 是否可分点，这两者是完全对应的，或者说是完全没有区别的。可分点的半范系在后面会起到重要基础作用。

关于豪斯多夫局部凸拓扑，我们有下述重要定理。

定理2.12 给定豪斯多夫局部凸空间 $(X,\tau )$，假设其局部凸拓扑 $\tau$ 可由可数可分点半范系 { p n ∣    n ∈ N } \{ p_n | \; n\in \mathbb{N} \} {pn​∣n∈N} 确定，则 $(X,\tau )$ 是线性赋准范空间，其准范数由下式确定：
$$\Vert x\Vert =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{p_n(x)}{2^n(1+p_n(x))},\forall x\in X$$ 定理2.12的证明可以参考周美珂先生的书《泛函分析》，pp:55-57。也可以参考本系列的下一篇文章，有类似的证明。

由定理2.12知，对于一般的豪斯多夫局部凸空间，其上的可分点半范系可能是不可数多个的，因此可能没有可数原点邻域基，就不可度量化，自然不可赋准范。这表明，即便是在豪斯多夫局部凸空间中，也可能存在复杂的拓扑结构，这些结构无法简单地通过度量来描述。

在豪斯多夫局部凸空间中，其广义序列 { x α } α ∈ A \{ x_{\alpha} \}_{\alpha \in \mathscr{A}} {xα​}α∈A​ 收敛到 $x$，当且仅当对于任意的半范 $p_{\beta }$，有 ${\lim }_{\alpha \in \mathcal{A}}{p}_{\beta }(x_{\alpha }-x)=0$。此即豪斯多夫局部凸空间中的广义序列之收敛，完全由其可分连续半范系所刻画。证明留给读者。

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总结

豪斯多夫局部凸空间属于泛函分析里面讨论非常多的一类空间，因为很多熟知的空间都是豪斯多夫局部凸空间。若其上可以赋予度量，则构成一度量向量空间，完备的度量向量空间便是 Fréchet 空间。此外，度量向量空间和赋准范空间本质上其实是同一个概念，故其上一定有一个由准范数诱导的平移不变度量，其诱导的拓扑与原度量拓扑一致。

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2024.8.24.
于重庆开州