我们要证明：给矩阵的一行（或列）加上另一行（或列）的倍数，这种操作不会改变行列式的值。
假设我们有一个矩阵 A A A，其大小为 3 × 3 3 \times 3 3×3，如果我们将其第 1 行加上第 2 行的倍数，得到新的矩阵 A ′ A' A′。我们需要证明矩阵 A A A 的行列式和矩阵 A ′ A' A′ 的行列式是相等的。
给定矩阵
A
A
A 如下：
A
=
(
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
)
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
A=
a11a21a31a12a22a32a13a23a33
我们构造一个新的矩阵
A
′
A'
A′，其中第 1 行变为原第 1 行加上第 2 行的
k
k
k 倍：
A
′
=
(
a
11
+
k
⋅
a
21
a
12
+
k
⋅
a
22
a
13
+
k
⋅
a
23
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
)
A' = \begin{pmatrix} a_{11} + k \cdot a_{21} & a_{12} + k \cdot a_{22} & a_{13} + k \cdot a_{23} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
A′=
a11+k⋅a21a21a31a12+k⋅a22a22a32a13+k⋅a23a23a33
矩阵
A
A
A 的行列式计算如下：
det
(
A
)
=
a
11
⋅
det
(
a
22
a
23
a
32
a
33
)
−
a
12
⋅
det
(
a
21
a
23
a
31
a
33
)
+
a
13
⋅
det
(
a
21
a
22
a
31
a
32
)
\text{det}(A) = a_{11} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} - a_{12} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} + a_{13} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}
det(A)=a11⋅det(a22a32a23a33)−a12⋅det(a21a31a23a33)+a13⋅det(a21a31a22a32)
矩阵
A
′
A'
A′ 的行列式为：
det
(
A
′
)
=
(
a
11
+
k
⋅
a
21
)
⋅
det
(
a
22
a
23
a
32
a
33
)
−
(
a
12
+
k
⋅
a
22
)
⋅
det
(
a
21
a
23
a
31
a
33
)
+
(
a
13
+
k
⋅
a
23
)
⋅
det
(
a
21
a
22
a
31
a
32
)
\text{det}(A') = (a_{11} + k \cdot a_{21}) \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} - (a_{12} + k \cdot a_{22}) \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} + (a_{13} + k \cdot a_{23}) \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}
det(A′)=(a11+k⋅a21)⋅det(a22a32a23a33)−(a12+k⋅a22)⋅det(a21a31a23a33)+(a13+k⋅a23)⋅det(a21a31a22a32)
我们可以将这个展开式分成两部分：
原矩阵
A
A
A 的行列式部分：
a
11
⋅
det
(
a
22
a
23
a
32
a
33
)
−
a
12
⋅
det
(
a
21
a
23
a
31
a
33
)
+
a
13
⋅
det
(
a
21
a
22
a
31
a
32
)
a_{11} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} - a_{12} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} + a_{13} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}
a11⋅det(a22a32a23a33)−a12⋅det(a21a31a23a33)+a13⋅det(a21a31a22a32)
这部分正是原矩阵
A
A
A 的行列式，即
det
(
A
)
\text{det}(A)
det(A)。
由第 2 行的倍数带来的新项：
k
⋅
(
a
21
⋅
det
(
a
22
a
23
a
32
a
33
)
−
a
22
⋅
det
(
a
21
a
23
a
31
a
33
)
+
a
23
⋅
det
(
a
21
a
22
a
31
a
32
)
)
k \cdot \left( a_{21} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} - a_{22} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} + a_{23} \cdot \text{det} \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \right)
k⋅(a21⋅det(a22a32a23a33)−a22⋅det(a21a31a23a33)+a23⋅det(a21a31a22a32))
这部分对应于矩阵中第 1 行和第 2 行相同的情况。根据行列式的性质，如果矩阵有两行相同，那么行列式为 0。因此，这一部分为 0。
因此，矩阵
A
′
A'
A′ 的行列式为：
det
(
A
′
)
=
det
(
A
)
+
0
=
det
(
A
)
\text{det}(A') = \text{det}(A) + 0 = \text{det}(A)
det(A′)=det(A)+0=det(A)
这证明了：给矩阵的一行加上另一行的倍数不会改变行列式的值。
