python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式

admin2024-06-11  2

引言

本文介绍了试验数据描述性统计分析中常用的均值、极差、方差、标准差、变异系数、偏度和峰度计算,并给出了MATLAB计算的函数。



文章目录

  • 引言
  • 1 均值
  • 1.1 样本均值
  • 1.2 总体均值
  • 1.3 MATLAB编程-均值
  • 2 变异度
  • 2.1 样本极差、方差、标准差、变异系数
  • 2.2 总体方差、标准差、变异系数
  • 2.3 MATLAB编程-极差、方差、标准差、变异系数
  • 3 偏度
  • 3.1 样本偏度
  • 3.2 总体偏度
  • 3.3 MATLAB编程-偏度
  • 4 峰度
  • 4.1 样本峰度
  • 4.2 总体峰度
  • 4.1 MATLAB编程-峰度
  • 5.其他说明



python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_matlab,第1张个观测值构成行向量python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_python算偏度和峰度的p值_02,第2张

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_均值_03,第3张

其中python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_matlab,第1张是样本容量。以下介绍均是样本的数字特征。和样本对应的数字特征是总体特征。

1 均值

1.1 样本均值

样本的样本均值即求数据的算术平均值:

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_方差_05,第5张

在分组样本场合,样本均值的近似公式为:

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_均值_06,第6张

其中,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_方差_07,第7张是组数,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_均值_08,第8张是第python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_matlab_09,第9张组的组中数,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_matlab_10,第10张是第python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_matlab_09,第9张组的频数。

均值表现了数据的集中位置。

1.2 总体均值

总体均值即为总体数据的数学期望:

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_matlab_12,第12张

1.3 MATLAB编程-均值

计算均值使用的是函数mean

xmean=mean(x);%均值

2 变异度

2.1 样本极差、方差、标准差、变异系数

刻画数据变异度的量有样本极差python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_方差_13,第13张,她等于样本中最大值减去最小值,即python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_matlab_14,第14张

它可以刻画数据散布范围大小,但不能刻画数据在这个范围内散布的集中或离散程度。刻画数据集中或离散程度的程度应该用其中心位置python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_数据分析_15,第15张为度量标准。任一数据python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_均值_08,第8张和样本均值python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_数据分析_15,第15张的差称作python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_均值_08,第8张的偏差。可以计算出,样本中所有数据的偏差和是0:

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_方差_19,第19张

因而,刻画所有数据的变异度常用样本方差python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_均值_20,第20张样本标准差python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_matlab_21,第21张,可以表示为:

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_matlab_22,第22张

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_数据分析_23,第23张

方差的量纲和数据的量纲不一致,它是数据量纲的平方,而标准差的量纲和数据量纲一致。比较两个样本的变异度,由于单位不同或平均数不同,不能单纯地用标准差来比较,而是用一个相对的百分数变异数来比较,这就是变异系数,表示为:

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_matlab_24,第24张

用它可以对同一样本中的不同指标或不同样本中的同一指标进行比较,据python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_python算偏度和峰度的p值_25,第25张的大小可以对指标的变异程度排序。

2.2 总体方差、标准差、变异系数

总体方差计算公式为:

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_均值_26,第26张

总体标准差计算公式为:

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_均值_27,第27张

总体变异系数计算公式为:

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_matlab_28,第28张

2.3 MATLAB编程-极差、方差、标准差、变异系数

计算极差用的是函数range

xrange=range(x);%极差

计算方差用的是函数var

xvar=var(x);%方差

计算标准差用的是函数std

xstd=std(x);%标准差

计算变异系数利用定义计算:

xcv=100*std(x)./mean(x);%变异系数

3 偏度

3.1 样本偏度

偏度用来刻画数据的偏态,对于样本数据,其样本偏度其计算公式(总体偏度的无偏估计)为:

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_均值_29,第29张

其中,s是标准差,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_数据分析_30,第30张是样本的3阶中心矩。偏度是刻画数据对称性的指标:

  • 数据关于均值对称偏度python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_数据分析_31,第31张
  • 数据关于均值不对称,右侧数据更分散(右尾长),偏度python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_python算偏度和峰度的p值_32,第32张
  • 数据关于均值不对称,左侧数据更分散(左尾长),偏度python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_方差_33,第33张

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_均值_34,第34张

3.2 总体偏度

总体偏度的计算公式是:

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_matlab_35,第35张

式中python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_matlab_36,第36张是总体3阶中心距。

3.3 MATLAB编程-偏度

计算偏度用的是函数skewness,函数的第二个参数可以查官方文档,为0时是总体的无偏估计,为1是有偏估计,这里取无偏估计,参数为0。

xske=skewness(x,0);%偏度

4 峰度

4.1 样本峰度

峰度用来刻画数据的尾重程度,对于样本数据,其样本峰度计算公式(总体峰度的无偏估计)为:

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_python算偏度和峰度的p值_37,第37张

其中,s是标准差,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_方差_38,第38张是样本的4阶中心矩。峰度是刻画数据分散性的指标:

  • 数据总体分布式正态分布时,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_python算偏度和峰度的p值_39,第39张
  • 数据分布较正态分布的尾部更加分散,两端极端数据更多(粗尾),偏度python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_数据分析_40,第40张
  • 数据分布较正态分布的尾部更加集中,两端极端数据更少(细尾),偏度python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_数据分析_41,第41张
  • python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_方差_42,第42张

4.2 总体峰度

总体峰度的计算公式是:

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_数据分析_43,第43张

式中python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_数据分析_44,第44张是总体4阶中心距。

4.1 MATLAB编程-峰度

计算峰度用的是函数kurtosis,函数的第二个参数可以查官方文档,为0时是总体的无偏估计,为1是有偏估计,这里取无偏估计,参数为0。

xkur=kurtosis(x,0);%峰度

5.其他说明

根据统计学的结果,样本的数字特征是相应的总体数字特征的矩估计。当总体数字特征存在时,当观测数量足够大时:

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_matlab_45,第45张

这里,特别要强调以下情况,当观测数据python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_均值_46,第46张是所要研究对象的全体时,数据的分布即总体分布,我们认为取得每一个观测数据python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_均值_08,第8张是等可能的,即为python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_数据分析_48,第48张,总体分布为离散均匀分布:

python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式,python算偏度和峰度的p值 偏度和峰度计算公式_数据分析_49,第49张

参考资料
[1]WikiPedia-偏度 [2]WikiPedia-峰度 [3]Joanes D N, Gill C A. Comparing measures of sample skewness and kurtosis[J]. Journal of the Royal Statistical Society: Series D (The Statistician), 1998, 47(1): 183-189.
[4]王岩,隋思涟. 试验设计与MATLA数据分析[M]. 第一版. 北京:清华大学出版社,2012:10-14


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