机器人工具箱学习(三)

admin2024-05-15  0

一、动力学方程

  机器人的动力学公式描述如下:
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式中, τ \boldsymbol{\tau} τ表示关节驱动力矩矢量; q ,    q ˙ ,    q ¨ \boldsymbol{q} ,\; \dot{\boldsymbol { q }} ,\; \ddot{\boldsymbol { q }} q,q˙,q¨分别为广义的关节位置、速度和加速度; M \boldsymbol{M} M为关节的空间惯量矩阵; C \boldsymbol{C} C为科氏力和离心力耦合矩阵; G \boldsymbol{G} G为重力; F f \boldsymbol{F}_f Ff为关节摩擦力。

  机器人的动力学参数包括惯性参数和摩擦参数。
  (1)惯性参数有:连杆质量 m m m、相对于连杆坐标系的质心矢量 r \boldsymbol{r} r和转动惯量矩阵 I \boldsymbol{I} I。其中,质心矢量 r \boldsymbol{r} r可以表示为:
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式中, r x r_x rx r y r_y ry r z r_z rz分别表示质心矢量 r \boldsymbol{r} r在连杆坐标系下三个坐标轴的分量。转动惯量矩阵 I \boldsymbol{I} I为包含六个独立元素的二维矩阵,表示为:
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式中,主对角元素为惯性矩,非主对角元素为惯性积。

  (2)机器人动力学建模中常用的摩擦模型为库伦-粘滞摩擦模型,其表达式为:
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式中, f c f_c fc f v f_v fv分别表示库伦摩擦系数和粘滞摩擦系数; v v v表示关节速度。注意:对于库伦摩擦系数的处理不同人有不同的处理,有的地方认为库伦摩擦是对称的,即当机器人关节正向旋转和反向旋转时,库伦摩擦力大小相等,方向相反,也即 f c + = f c − f_c^+ = f_c^- fc+=fc;也有的地方认为库伦摩擦是非对称的,即当机器人关节正向旋转和反向旋转时,库伦摩擦力大小不相等。

二、机器人工具箱描述动力学方程

2.1 动力学参数赋值

  在机器人工具箱中,提供了如下动力学参数输入接口:
  (1)Link.m:表示连杆的质量;
  (2)Link.r:表示连杆的质心矢量;
  (3)Link.I:表示连杆的惯量矩阵;
  (4)Link.Jm:表示驱动电机的转动惯量;
  (5)Link.B:表示粘滞摩擦系数;
  (6)Link.Tc:表示库伦摩擦系数;
  (7)Link.G:表示电机齿轮传动比(默认为1)

  这里仍然以3-DOF平面机械臂为例:

%% 动力学
% RRR机械臂
clear;
close all;
clc;

%               theta(z)   d(z)     a(x)     alpha(x)  
RRR_L(1) = Link([  0       0        1        0    ],'standard');
RRR_L(2) = Link([  0       0      0.8        0    ],'standard');
RRR_L(3) = Link([  0       0      0.6        0    ],'standard');

% 连杆1动力学参数
RRR_L(1).m = 4.0;
RRR_L(1).r = [0.12; 0.08; 0.31];
RRR_L(1).I = [0.32 0.01 0.02;
              0.01 0.12 0.11;
              0.02 0.11 0.41];
RRR_L(1).Jm = 0.0012;
RRR_L(1).B = 0.00148;
RRR_L(1).Tc = [+0.395, -0.435];
RRR_L(1).G = 1.2;

% 连杆2动力学参数
RRR_L(2).m = 15.2;
RRR_L(2).r = [-0.475; 0.097; 0.06];
RRR_L(2).I = [1.21 0.21 0.32;
              0.21 0.52 0.11;
              0.32 0.11 0.51];
RRR_L(2).Jm = 0.0048;
RRR_L(2).B = 0.00329;
RRR_L(2).Tc = [+0.462; -0.561];
RRR_L(2).G = 1.4;

% 连杆3动力学参数
RRR_L(3).m = 0.6;
RRR_L(3).r = [0.01; 0.097; 0.016];
RRR_L(3).I = [0.021 0.03 0.382;
              0.03 0.152 0.11;
              0.382 0.11 0.651];
RRR_L(3).Jm = 0.0061;
RRR_L(3).B = 0.00429;
RRR_L(3).Tc = [+0.262; -0.661];
RRR_L(3).G = 1.7;

three_link = SerialLink(RRR_L, 'name', '3-DOF');

  采用dyn( )函数可以查看动力学参数,如图所示:
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2.2 动力学方程中的各项表示

(1)空间惯量矩阵 M ( q ) \boldsymbol{M}(\boldsymbol{q}) M(q)
  机器人的空间惯量是机器人各关节的位姿的函数,在不同机器人位形时具有不同的值。机器人工具箱中可以调用robot.inertia(q)函数获得空间惯量矩阵。
  例如:当3-DOF平面机械臂三个关节角度为30°、45°和60°时,其空间惯量矩阵为:
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(2)科氏力和离心力耦合矩阵 C ( q , q ˙ ) \boldsymbol{C}(\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}) C(q,q˙)
  科氏力和离心力耦合矩阵是关节位置和速度的函数。机器人工具箱中可以调用robot.coriolis(q, qd)函数获得该耦合矩阵。
  例如:当3-DOF平面机械臂三个关节角度为30°、45°和60°,三个关节速度为10°/s、20°/s和30°/s时,其科氏力和离心力耦合矩阵为:
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(3)重力矩阵 G ( q ) \boldsymbol{G}(\boldsymbol{q}) G(q)
  重力矩阵与机器人的位形有关,是对各关节所受重力的描述,其值不受机器人的运动的影响。机器人工具箱中可以调用robot.gravload(q, grav)函数来获得重力矩阵,其中grav自定义重力加速度向量。
  例如:当3-DOF平面机械臂三个关节角度为30°、45°和60°,重力加速度向量为 y y y轴负向,即grav = [0; -9.8; 0]。重力矩阵为:
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(4)摩擦力矩阵 F f ( q ˙ ) \boldsymbol{F}_f(\dot{\boldsymbol{q}}) Ff(q˙)
  摩擦力矩阵是由各关节的给定摩擦参数数值决定的,大小与各关节的速度有关。机器人工具箱中可以调用robot.friction(qd)函数来获得重力矩阵。
  例如:当3-DOF平面机械臂三个关节速度为10°/s、20°/s和30°/s时,其摩擦力矩阵为:
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三、逆动力学分析

  机器人的逆动力学分析是在给定机器人关节位置、速度和加速度时,计算得到机器人各关节所需要的力和力矩大小。机器人工具箱中可以调用robot.rne(q, qd, qdd, grav)函数来计算逆动力学。其中,q, qd, qdd分别表示机器人关节位置、速度和加速度;grav表示自定义的重力加速度矢量。除此之外,还可以添加参数fext,表示末端执行器受到的外力和力矩 [ F x ,   F y ,   F z ,   τ x ,   τ y ,   τ z ] [F_x,\: F_y,\: F_z,\: \tau_x,\: \tau_y,\: \tau_z] [Fx,Fy,Fz,τx,τy,τz]
  例子:让3-DOF平面机械臂按照下图所示的轨迹运动。
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代码:

%% 动力学
% RRR机械臂
clear;
close all;
clc;

%               theta(z)   d(z)     a(x)     alpha(x)  
RRR_L(1) = Link([  0       0        1        0    ],'standard');
RRR_L(2) = Link([  0       0      0.8        0    ],'standard');
RRR_L(3) = Link([  0       0      0.6        0    ],'standard');

% 连杆1动力学参数
RRR_L(1).m = 4.0;
RRR_L(1).r = [0.12; 0.08; 0.31];
RRR_L(1).I = [0.32 0.01 0.02;
              0.01 0.12 0.11;
              0.02 0.11 0.41];
RRR_L(1).Jm = 0.0012;
RRR_L(1).B = 0.00148;
RRR_L(1).Tc = [+0.395, -0.435];
RRR_L(1).G = 1.2;

% 连杆2动力学参数
RRR_L(2).m = 15.2;
RRR_L(2).r = [-0.475; 0.097; 0.06];
RRR_L(2).I = [1.21 0.21 0.32;
              0.21 0.52 0.11;
              0.32 0.11 0.51];
RRR_L(2).Jm = 0.0048;
RRR_L(2).B = 0.00329;
RRR_L(2).Tc = [+0.462; -0.561];
RRR_L(2).G = 1.4;

% 连杆3动力学参数
RRR_L(3).m = 5.6;
RRR_L(3).r = [0.01; 0.097; 0.016];
RRR_L(3).I = [0.921 0.03 0.382;
              0.03 0.252 0.11;
              0.382 0.11 1.251];
RRR_L(3).Jm = 0.0061;
RRR_L(3).B = 0.00429;
RRR_L(3).Tc = [+0.262; -0.661];
RRR_L(3).G = 1.7;

three_link = SerialLink(RRR_L, 'name', '3-DOF');

delta_t = 0.02;
t = 0:delta_t:4;
m = length(t);

theta1 = 60*sin(4*pi*t/4);
theta2 = 60*sin(2*pi*t/4);
theta3 = 30*sin(2*pi*t/4);

theta1_d = 60*pi*cos(4*pi*t/4);
theta2_d = 30*pi*cos(2*pi*t/4);
theta3_d = 15*pi*cos(2*pi*t/4);

theta1_dd = -60*pi*pi*sin(4*pi*t/4);
theta2_dd = -15*pi*pi*sin(2*pi*t/4);
theta3_dd = -7.5*pi*pi*sin(2*pi*t/4);

q = [theta1;theta2;theta3]'*pi/180;
qd = [theta1_d;theta2_d;theta3_d]'*pi/180;
qdd = [theta1_dd;theta2_dd;theta3_dd]'*pi/180;

% 关节位置、速度、加速度绘图
figure(1)
subplot(3,1,1)
plot(t, q(:,1)*180/pi, 'b')
hold on
plot(t, q(:,2)*180/pi, 'r--')
hold on
plot(t, q(:,3)*180/pi, 'm')
xlabel('time (s)', 'Interpreter', 'latex')
ylabel('$\theta$ (deg)', 'Interpreter', 'latex')
legend('$\theta_1$','$\theta_2$','$\theta_3$', 'Interpreter', 'latex')
set(gca, 'FontName','Times New Roman')

subplot(3,1,2)
plot(t, qd(:,1)*180/pi, 'b')
hold on
plot(t, qd(:,2)*180/pi, 'r--')
hold on
plot(t, qd(:,3)*180/pi, 'm')
xlabel('time (s)', 'Interpreter', 'latex')
ylabel('$\dot{\theta}$ (deg)', 'Interpreter', 'latex')
legend('$\dot{\theta_1}$','$\dot{\theta_2}$','$\dot{\theta_3}$', 'Interpreter', 'latex')
set(gca, 'FontName','Times New Roman')

subplot(3,1,3)
plot(t, qdd(:,1)*180/pi, 'b')
hold on
plot(t, qdd(:,2)*180/pi, 'r--')
hold on
plot(t, qdd(:,3)*180/pi, 'm')
xlabel('time (s)', 'Interpreter', 'latex')
ylabel('$\ddot{\theta}$ (deg)', 'Interpreter', 'latex')
legend('$\ddot{\theta_1}$','$\ddot{\theta_2}$','$\ddot{\theta_3}$', 'Interpreter', 'latex')
set(gca, 'FontName','Times New Roman')

set(gcf, 'color',[1 1 1]);

% 运动示意
figure(2)
three_link.plot(q,'trail','b');


% 逆动力学
grav = [0; -9.8; 0];
tau = three_link.rne(q, qd, qdd, grav);

% 关节驱动力矩
figure(3)
plot(t,tau(:,1), 'b')
hold on
plot(t, tau(:,2), 'r--')
hold on
plot(t, tau(:,3), 'm')
xlabel('time (s)', 'Interpreter', 'latex')
ylabel('$\tau$ (N/m)', 'Interpreter', 'latex')
legend('$\tau_1$','$\tau_2$','$\tau_3$', 'Interpreter', 'latex')
set(gca, 'FontName','Times New Roman')
set(gcf, 'color',[1 1 1]);

运行结果:
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机器人工具箱学习(三),在这里插入图片描述,第14张

四、结语

  机器人工具箱还有其他的一些应用,譬如正动力学分析、视觉相关应用等,不过笔者对这些没有接触过,就不误导大家了。
  我是木头人,以上全是个人见解,有问题请大家评论区指出,大家共同进步!!

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